Ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου

[dimka]

καλημέρες!!!

έστω ότι έχω μια σφαίρα ακτίνας α και είναι γεμάτη με χωρικό φορτίο πυκνότητας ρ = k*r, 0 < r < a. Η ένταση σε τυχαίο σημείο στο εσωτερικό της σφαίρας είναι



επειδη έχουμε κατανομή όγκου θέτουμε dq = ρ*dV, άρα



από δω και κάτω πως προχωράμε όμως ;;;;;
ευχαριστώ

[Pagouras]

Κανεις αντικατασταση dV= -r^2sinθ drdφdθ και υπολογιζεις το τριπλο ολοκληρωμα που προκυπτει. Για τα ορια ολοκληρωσης ισχυει 0<r<R, 0<φ<2π 0, 0<θ<π

[Stokos]

Φίλε μου έχεις ξεκινήσει με τελείως λάθος αντιμετώπιση της άσκησης. Όταν θέλουμε να βρούμε ηλεκτρικό πεδίο το οποίο δημιουργεί συμπαγής σφαίρα το καλύτερο είναι να χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Gauss θεωρώντας νοητή ομόκεντρη σφαίρα ακτίνας r με r<a αν θέλουμε να βρούμε το πεδίο εντός της σφαίρας και r>a αν θέλουμε να βρούμε το πεδίο εκτός της σφαίρας.

Η συγκεκριμένη άσκηση, μιας και είναι "κλασική" την έχουμε κάνει και με το μεταπτυχιακό και την έχω ανεβάσει στις σημειώσεις για το μάθημα, συγκεκριμένα σελ. 6.1 για το πεδίο εκτός της σφαίρας και σελ. 6.2 για το πεδίο εντός της σφαίρας, οπότε μπορείς να τη διαβάσεις από εκεί.

Εdit:

Κανεις αντικατασταση dV= r^2sinθ drdφdθ και υπολογιζεις το τριπλο ολοκληρωμα που προκυπτει. Για τα ορια ολοκληρωσης ισχυει 0<r<R, 0<φ<2π 0, 0<θ<π

Λάθος! Αυτό δε μπορούμε να το κάνουμε στη συγκεκριμένη άσκηση. Αυτό το κάνουμε όταν θέλουμε να βρούμε φορτίο ή δυναμικό τα οποία είναι μη διανυσματικά μεγέθη, για τον υπολογισμό της έντασης πρέπει να λάβουμε υπόψη τη διανυσματική της φύση. Στο 99% των ασκήσεων που ζητείται υπολογισμός έντασης μια απλή αντικατάσταση στο τύπο δεν είναι αρκετή, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη συμμετρία του προβλήματος. Στις σημειώσεις μου έχω όλες τις "κλασικές" περιπτώσεις: ευθεία, δίσκος, δακτύλιος, σφαίρα, πλάκα απείρων διαστάσεων.

[dimka]

στις σημειώσεις σου stokos λες ότι



επειδή είναι καιρός που τα έχω να τα δω .... με πιάνεις; Η παραπάνω σχέση από που βγαίνει ; Μήπως από την ολοκληρωτική μορφή του ν΄μου του Gauss (βλ. παρακάτω) ;



ευχαριστώ

[Stokos]

Διάβασε την άσκηση απο την αρχή επειδή αυτά που ρωτάς υπάρχουν αναλυτικά στο 1ο ερώτημα (σελ. 6.1) και τα χρησιμοποιώ απ'ευθείας και στο δεύτερο ερώτημα το οποίο σε ενδιαφέρει...

Για να βρω ουσιαστικά το πεδίο πάω και υπολογίζω το ολοκλήρωμα στο αριστερό μέλος συναρτήσει του E, το ολοκλήρωμα στο δεξί μέλος αντικαθιστώντας το Q = Spdv κατα τα γνωστά και λύνω ως προς E.

[Geokon]

Stoke μια ερωτησούλα γιατί έχω κολλήσει τώρα. Στην σελίδα 6,1 εκεί που βγάζεις αποτέλεσμα 4πΕr^2 είναι σωστό αυτό? Γιατί έχουμε (-cosθ)... Για κοίτα και πες μου. Thanx

[Stokos]

Stoke μια ερωτησούλα γιατί έχω κολλήσει τώρα. Στην σελίδα 6,1 εκεί που βγάζεις αποτέλεσμα 4πΕr^2 είναι σωστό αυτό? Γιατί έχουμε (-cosθ)... Για κοίτα και πες μου. Thanx

είναι: -(cos(π) - cos(0) = cos(0) - cos(π) = 1 -(-1) = 2 οπότε ναι σωστό είναι...

[dimka]

Στους υπολογισμούς της 6.1 έχουμε ότι ….




Μπορούμε να δούμε πως γίνεται η απόδειξη ; ; ; ; ;

[Kevin]

Επειδή είναι κάπως μεγάλος συλλογισμός (αφορά αλλαγή μεταβλητών) δεν γίνεται να εξηγηθεί εδώ αλλά βρίσκεται στις σελίδες 53-55 στο βιβλίο του Griffiths αναλυτικότατα. Μάλιστα αν κάτσεις ένα 10λεπτο και δεις προσεκτικά τον τρόπο που βγαίνει η εξίσωση, μπορείς να την "βγάζεις" οποιαδήποτε στιγμή χωρίς να χρειάζεται παπαγαλία!

Καλή συνέχεια

[Stokos]

Στους υπολογισμούς της 6.1 έχουμε ότι ….




Μπορούμε να δούμε πως γίνεται η απόδειξη ; ; ; ; ;

Αντικαθιστάς το ds σε σφαιρικές συντεταγμένες (σελ. 1.3) και παίρνεις όρια έτσι ώστε να καλυφθεί όλη η σφαίρα δηλ. θ από 0->π και φ από 0->2π.

[LoVaBiLL]

Επειδή είναι κάπως μεγάλος συλλογισμός (αφορά αλλαγή μεταβλητών) δεν γίνεται να εξηγηθεί εδώ αλλά βρίσκεται στις σελίδες 53-55 στο βιβλίο του Griffiths αναλυτικότατα. Μάλιστα αν κάτσεις ένα 10λεπτο και δεις προσεκτικά τον τρόπο που βγαίνει η εξίσωση, μπορείς να την "βγάζεις" οποιαδήποτε στιγμή χωρίς να χρειάζεται παπαγαλία!

Αυτή η απόδειξη θα μπορούσε να είναι θεωρία; Δεν ανήκει πιο πολύ στις ασκήσεις;...Θέλω να πω πως ίσως είναι άτοπος ο συλλογισμός της μη παπαγαλίας για το συγκεκριμένο ερώτημα (Τυπολόγιο). Θα το έχεις μπροστά σου...ε; ή τα έχω μπερδέψει κανονικά;

[Kevin]

Σωστό! Τώρα θα έχουμε ανοιχτές σημειώσεις για τις ασκήσεις. Τις προάλλες όμως δεν υπήρχαν στο τυπολόγιο.

[Stokos]

Μα η μαθηματική εισαγωγή (συστήματα συντεταγμένων, ολοκληρώματα κ.τ.λ.) ήταν ύλη της προηγούμενης προόδου ούτως ή άλλως.

[Kevin]

Άρα μπορεί και τώρα να ζητήσει απόδειξη και να πρέπει να την ξέρουμε? (για το τμήμα θεωρίας πάντα)

[Stokos]

Άρα μπορεί και τώρα να ζητήσει απόδειξη και να πρέπει να την ξέρουμε? (για το τμήμα θεωρίας πάντα)

Τέτοιου είδος απόδειξη όχι... Οι αποδείξεις θα έχουν σχέση με πεδία, π.χ. νόμος gauss