Με αφορμή την [Lipschitz Condition]

[pez]

- LoVaBiLL : (Παρ Δεκ 11, 2009 8:02 pm) : "Πως ακριβώς βρίσκουμε την ισχύ (ή μη) της συνθήκης Lipschitz στην συνάρτηση y'=-y^2 , y(0)=1?"

- Πολύ ενδιαφέρον! Οπότε ανοίξαμε * και πάλι ..."Τα Κιτάπια"! - d;^) - Από αυτά που παραθέτετε λοιπόν, και κατά τη γνώμη μας, προκύπτει ότι: (1) η συνάρτηση οφείλει να είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με τύπο y = y(x), (2) η y(x) οφείλει να έχει συνάρτηση πρώτης παραγώγου με τύπο y' = y'(x), και (3) οι τύποι αυτοί οφείλουν να ορίζονται -υπονοούμενα- στο μεγαλύτερο -ως προς τη σχέση διάταξης εγκλεισμού συνόλων- υποσύνολο Α του |R ή Α C |R, στο οποίο μπορούν να ισχύουν οι συνθήκες: y' = -y^2 και y(0) = 1. Αλλά τότε, επειδή από την πρώτη συνθήκη y' = y^2 προκύπτει ότι dy = -y'dx => Int{-1/y^2}dy = Int{1}dx => 1/y + C' = x + C", όπου C' και C'' αυθαίρετες σταθερές, οπότε 1/y = x + C, C = C" - C'=> y = 1/(x + C), και έτσι έπεται ότι ο γενικός τύπος για τη συνάρτηση είναι y = y(x) = 1/(x + C), C ε |R, οπότε η συνάρτηση είναι ορισμένη στο σύνολο Α = (|R - {-C}) ή, για λόγους καθαρά μαθηματικής ..."αισθητικής", αφού "το ίδιο είναι", στο σύνολο Α = (|R - {C}) ή, εν πάση περιπτώσει, στο σύνολο Α = (-οο, C) U (C, +oo), ενώ από την δεύτερη συνθήκη y(0) = 1 προκύπτει ότι 1 = 1/(0 + C) => C = 1, κι έτσι ο ειδικός, πλήρως ορισμένος, τύπος είναι εδώ y(x) = 1/(x + 1), ενώ το μεγαλύτερο υποσύνολο Α του |R, στο οποίο ορίζεται συνάρτηση y = y(x) από αυτόν τον τύπο, προκύπτει από την συνθήκη για τον παρονομαστή του τύπου αυτού: (x + 1) =/= 0 <=> x =/= -1, οπότε, δηλαδή, είναι: Α = (-οο, -1) U (-1, +οο). Και επειδή για τη συνάρτηση αυτή η παράγωγος δίδεται από τον τύπο y' = y'(x) = -1/(x + 1)^2, έπεται ότι το μεγαλύτερο υποσύνολο Α' του |R ή A' C |R, στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση της πρώτης παραγώγου της y(x) από τον τύπο αυτόν, προκύπτει αντιστοίχως από τη συνθήκη: (x + 1)^2 =/= 0, δηλαδή το Α' είναι, προφανώς, ίδιο με το Α ή Α' = Α = (-οο, -1) U (-1, +οο). Πάμε τώρα παρακάτω; d;^) * Νικολίτσα Γιαννοπούλου * Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

- ΥΓ - Παρακαλούμε όπως το μήνυμα αυτό παραμείνει εδώ, στα [Επιστημονικά Νέα], καθότι ναι μεν ως αφορμή έχει το θέμα [Lipschitz Condition], από τα [Μαθήματα], και παρόλο που δεν είναι Επιστημονικό "Νέο", εν τούτοις έχει για εμάς ένα γενικότερο ενδιαφέρον, επιστημονικό - d;^) -

[pez]

- [a] [deece] : " Με αφορμή την [Lipschitz Condition] " - To: Virtual Antennas - Cc: /F/L/O/S/S/ - Friday, January 01, 2010 1:41 PM - From: Petros Zimourtopoulos

- Καλή Χρονιά!

- [deece] : " Με αφορμή την [Lipschitz Condition] ",
από pez την Παρ Δεκ 18, 2009 2:19 pm:

http://www.deece.gr/phpBB/viewtopic.php?f=177&t=6296

- Παρά την δημόσια παρακίνηση, και ενώ υπήρξε ένα ιδιωτικό
e-mail σχετικά με το ως άνω θέμα, και παρά και την ιδιωτική
παρακίνηση-απάντηση στο εν λόγω e-mail για δημόσια συνέχεια
στο θέμα αυτό, εν τούτοις δεν υπήρξε εντελώς καμία περαιτέρω
αντίδραση, οπότε κι εγώ επανέρχομαι ...αυτόκλητος στο θέμα,
για να διορθώσω τα δικά μου λάθη, κι έτσι έχουμε λοιπόν τα
ακόλουθα:

- Παρόραμα! Αντί " dy = -y'dx ", το ορθόν είναι " dy = y'dx ".

- Λάθος! Αντί " x ε (-οο, -1) U (-1, +οο) ", το ορθόν είναι
" x ε (-1, +οο) ".

- Διότι, αντί

" dy = -y'dx => Int{-1/y^2}dy = Int{1}dx => 1/y + C' = x + C",
όπου C' και C'' αυθαίρετες σταθερές, οπότε 1/y = x + C,
C = C" - C'=> y = 1/(x + C) ",

το ορθόν είναι

" dy = y'dx => y = y(x) =/= 0 και Int{-1/y^2}dy = Int{1}dx

οπότε διακρίνουμε υποχρεωτικά δύο περιπτώσεις

y < 0 => 1/y + C-' = x + C-"

ή αποκλειστικά

0 < y => 1/y + C+' = x + C+"

όπου C-' , C+' και C-" , C+" αυθαίρετες σταθερές, από όπου

y < 0 => 1/y = x + C- , C- := C-" - C-'

ή αποκλειστικά

0 < y => 1/y = x + C+ , C+ := C+" - C+'

ενώ, εφόσον y =/= 0 και (1/y).(y) = 1 > 0 , έπεται ότι το
1/y έχει το ίδιο πρόσημο με το y , οπότε έχουμε

y < 0 => 1/y = x + C- < 0 => y = 1/(x + C-) < 0 , x < -C-

ή αποκλειστικά

0 < y => 0 < 1/y = x + C+ => 0 < y = 1/(x + C+) , -C+ < x

δηλαδή δύο διαφορετικές, ανεξάρτητες, ασυσχέτιστες μεταξύ
τους, αυθαίρετες σταθερές C- και C+ , οπότε έχουμε ως γενική
λύση την ένωση δύο ξένων μεταξύ τους οικογενειών (κλάδων)
λύσεων, που αν και έχουν τον ίδιο τύπο ορισμού y(x) εν τούτοις
έχουν διαφορετικό σύνολο ορισμού:

y = 1/(x + C-) < 0 , x < -C- ή x ε (-oo, -C-) και

0 < y = 1/(x + C+) , -C+ < x ή x ε (-C+, +οο) ".

- Συνεπώς, αφού η (αρχική) συνθήκη είναι y(0) = 1 ή αλλιώς
x0 = 0 και 0 < 1 = y0 = y(0) = y(x0) , αυτό σημαίνει πως
δεν μπορούμε να αναζητήσουμε καμιά ειδική λύση ως μοναδική
στον κλάδο y < 0 αλλά μόνον στον κλάδο

0 < y => 1/y = x + C+

όπου και έχουμε

0 < 1 = y0 = y(x0) => 1/y0 = 1/1 = x0 + C+ = 0 + C+ => C+ = 1

οπότε η ειδική λύση που υπάρχει ως μοναδική είναι

y = y(x) = 1/(x + 1) , x ε (-1, +οο)

δηλαδή είναι ο τύπος y(x) = 1/(x + 1) ορισμένος στο -προφανώς-
μεγαλύτερο δυνατό σύνολο x ε (-1, +οο), έτσι ώστε να ισχύουν
ταυτόχρονα οι δοθείσες συνθήκες y' = -y^2 και y(0) = 1.

- Συμπέρασμα: Δεν μπορούμε πάντα να ορίζουμε όποια αρχική
συνθήκη εμείς θέλουμε και να περιμένουμε μετά να πάρουμε
οπωσδήποτε μία και μοναδική λύση στο μεγαλύτερο δυνατό σύνολο
ορισμού της. Εδώ, για παράδειγμα, δηλαδή στην συγκεκριμένη
σχέση y' = -y^2 , αν θα θελήσουμε να ορίσουμε ως αρχική συνθήκη
κάποια που να έχει y0 = y(x0) = 0, τότε δεν θα υπάρχει ούτε
μια μοναδική ειδική λύση που να την πληροί.

- Λοιπόν; Μήπως τώρα μπορούμε να πάμε παρακάτω στο -όπως το
είπαμε από την αρχή- πολύ ενδιαφέρον αυτό θέμα;

- d;^)

- Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

- Καλή Χρονιά!

[pez]

- [a] [ΟΑ] Re: [deece] : " Με αφορμή την [Lipschitz Condition] " - Sunday, January 03, 2010 7:19 PM - To: Virtual Antennas - Cc: /F/L/O/S/S/ - From: Petros Zimourtopoulos

1
- Παρόραμα! Αντί " Int{-1/y^2}dy = Int{1}dx " το ορθόν
" (-1/y^2)dy = dx "

2
- Παρόραμα! Αντί " όπου C' και C' ' αυθαίρετες σταθερές ",
το ορθόν " όπου C' και C" αυθαίρετες σταθερές ".

3
- Λάθος! Αντί

" dy = y'dx => y = y(x) =/= 0 ... "

το ορθόν

" dy = y'dx , οπότε διακρίνω δύο δυνατότητες (Ι) y' = y'(x) = 0 ,
που έχει ως γενική λύση την y = y(x) = C => y' = 0 = -y^2
=> -C^2 = 0 => C = 0 , οπότε έχει μόνον μία ειδική λύση, την
σταθερά συνάρτηση y = y(x) = 0 , η οποία όμως δεν πληροί παρά
μόνον μία αρχική συνθήκη, την y(x0) = 0 , και συνεπώς δεν
πληροί την δοθείσα y(0) = 1, άρα δεν γίνεται δεκτή ως λύση στο
συγκεκριμένο πρόβλημά μας , και (II) y' =/= 0 ... "

4
- Λάθος! Το επιμέρους συμπέρασμα, πως όταν υπάρχει μία τουλάχιστον
ειδική λύση της dy = y'(x)dx -οπότε, από μόνον την σχέση αυτή
της ισότητας, προκύπτει πάντα να υπάρχει απειρία ειδικών λύσεων
ή με άλλα λόγια υπάρχει γενική λύση (εξ ορισμού: το σύνολο των
ειδικών λύσεων), που είναι μη κενή, ως άπειρη- τότε προκύπτει
σχέση ισότητας μεταξύ (πολλών) γενικών λύσεων. Διότι, από τον
ορισμό της, η γενική λύση είναι πάντα μόνον μία. Ακόμη και όταν
είναι κενή. Το αληθές λοιπόν είναι πως όταν υπάρχει μία
τουλάχιστον ειδική λύση της dy = y'(x)dx -οπότε υπάρχουν
άπειρες- τότε υφίσταται σχέση ισότητας μεταξύ των (πολλών)
αυτών ειδικών λύσεων.

Συνεπώς, αντί

" (ΙΙ) y' =/= 0 και (-1/y^2)dy = dx

οπότε διακρίνουμε υποχρεωτικά δύο περιπτώσεις

y < 0 => 1/y + C-' = x + C-"

ή αποκλειστικά

0 < y => 1/y + C+' = x + C+"

όπου C-' , C+' και C-" , C+" αυθαίρετες σταθερές, από όπου

y < 0 => 1/y = x + C- , C- := C-" - C-'

ή αποκλειστικά

0 < y => 1/y = x + C+ , C+ := C+" - C+' "

το ορθόν

" (ΙΙ) y' =/= 0 και (-1/y^2)dy = dx

οπότε διακρίνουμε υποχρεωτικά δύο περιπτώσεις

y < 0 => 1/y = x + C-

ή αποκλειστικά

0 < y => 1/y = x + C+

όπου C- , C+ αυθαίρετες σταθερές "

= Γιατί γίνεται όμως αυτός ο διαχωρισμός;

- Διότι δεν αρκεί μόνον να βρούμε τον τύπο. Πρέπει να βρούμε και
το σύνολο ορισμού του. Η υπονοούμενη απαίτηση όμως για τον
προσδιορισμό του μεγαλύτερου συνόλου ορισμού του τύπου
y = y(x) , στο οποίο αυτό σύνολο να ισχύουν οι σχέσεις
y' = -y^2 και y(0) = 1 , είναι υπερβολικά γενική και
αποπροσανατολιστική, καθότι εδώ ασχολούμαστε οπωσδήποτε με
συναρτήσεις που ως παράγωγοι (συναρτήσεων οι οποίες δίδονται
από τύπο ορισμένο σε διάστημα ή από τύπους ορισμένους σε
διαστήματα τα οποία έχουν ως κοινό το πολύ ένα άκρο τους ή/και
από τιμές σε μεμονωμένα σημεία) δίδονται από τύπο ορισμένο
σε διάστημα ή από τύπους ορισμένους σε διαστήματα τα οποία
έχουν ως κοινό το πολύ ένα άκρο τους. Συνεπώς, αφενός το
" ο τύπος y = y(x) " πρέπει να αντικατασταθεί από το " ο τύπος
ή οι τύποι y = y(x) " και αφετέρου " το μεγαλύτερο σύνολο "
πρέπει να αντικατασταθεί από " το μέγιστο διάστημα ορισμού του
τύπου ή την μεγαλύτερη ένωση διαστημάτων ορισμού των τύπων τα
οποία έχουν ως κοινό το πολύ ένα άκρο τους ".

5
- Το συμπέρασμα; Λάθος! Αντί

" Εδώ, για παράδειγμα, δηλαδή στην συγκεκριμένη σχέση y' = -y^2 ,
αν θα θελήσουμε να ορίσουμε ως αρχική συνθήκη κάποια που να
έχει y0 = y(x0) = 0, τότε δεν θα υπάρχει ούτε μια μοναδική
ειδική λύση που να την πληροί. ",

το ορθόν

" Εδώ, για παράδειγμα, δηλαδή στην συγκεκριμένη σχέση y' = -y^2 ,
αν θα θελήσουμε να ορίσουμε ως αρχική συνθήκη κάποια που να
έχει y0 = y(x0) = 0, τότε δεν θα υπάρχει ούτε μια ειδική λύση
διαφορετική από την μοναδική σταθερά y = y(x) = 0 που να την
πληροί. "

6
- Λάθος! Αντί

" δηλαδή δύο διαφορετικές, ανεξάρτητες, ασυσχέτιστες μεταξύ
τους, αυθαίρετες σταθερές C- και C+ , οπότε έχουμε ως γενική
λύση την ένωση δύο ξένων μεταξύ τους οικογενειών (κλάδων)
λύσεων, που αν και έχουν τον ίδιο τύπο ορισμού y(x) εν τούτοις
έχουν διαφορετικό σύνολο ορισμού:

y = 1/(x + C-) < 0 , x < -C- ή x ε (-oo, -C-) και

0 < y = 1/(x + C+) , -C+ < x ή x ε (-C+, +οο) ".

το ορθόν

" δηλαδή δύο διαφορετικές, ανεξάρτητες, ασυσχέτιστες μεταξύ τους,
αυθαίρετες σταθερές C- και C+ , οπότε έχουμε ως γενική λύση της
y' = -y^2 την ένωση το πολύ τριών ξένων μεταξύ τους συνόλων
(οικογενειών) ειδικών λύσεων (τύπων ΚΑΙ μέγιστων διαστημάτων
ορισμού τους), οι δύο από τις οποίες είναι άπειρες, έχοντας μεν
τον ίδιους τύπους ορισμού y = y(x) = 1/(x + C-) και
y = y(x) = 1/(x + C+) αλλά διαφορετικό σύνολο ορισμού x < -C-
ή x ε (-oo, -C-) , και -C+ < x ή x ε (-C+, +οο) , ενώ η τρίτη
οικογένεια είναι μονομελής, είναι η σταθερή συνάρτηση
y = y(x) = C = 0 και ορίζεται σε όλο το (-οο, +οο). C- , C και
C+ είναι τρεις διακριτές μεταξύ τους αυθαίρετες συναρτήσεις που
για λόγους οικονομίας στη σκέψη μπορούν να συμβολισθούν με το
ίδιο σύμβολο C αφού εμπλέκονται σε τρία διαφορετικά μεταξύ τους
σύνολα ορισμού των αντιστοίχων τύπων. "

7
= Ερώτηση: Μετά από όλα αυτά, στην y' = -y^2 ποιες συνθήκες
(x0, y0 = y(x0) δίνουν ποια μοναδική λύση με τύπο y = y(x) σε
ποιο μέγιστο διάστημα;

- Απάντηση: Διακρίνω τρεις περιπτώσεις αντίστοιχα προς το
πρόσημο του y0:

-)Αν y0 = y(x0) < 0 , για οποιοδήποτε x0 , τότε μοναδική (ειδική)
λύση είναι

ο τύπος

y = y(x) = 1/(x + C) , με C = -x0 + 1/y0 ,

που (κατά μέγιστον) ορίζεται

για x < -C = ή αλλιώς για x ε (-οο, -C)

και δίνει μόνον αρνητικές τιμές y (όλους τους αρνητικούς αριθμούς).

0)Αν y0 = 0 = y(x0) , για οποιοδήποτε x0 , τότε μοναδική (ειδική)
λύση είναι ο τύπος

y = y(x) = C , με C = y0 = 0 ,

που (κατά μέγιστον) ορίζεται

για κάθε x ή αλλιώς για x ε (-οο, +οο)

και δίνει μόνον μηδενικές τιμές y (μόνον τον αριθμό μηδέν).

+)Αν 0 < y0 = y(x0) , για οποιοδήποτε x0 , τότε μοναδική (ειδική)
λύση είναι (πάλι) ο τύπος

y = y(x) = 1/(x + C) , (πάλι) με C = - x0 + 1/y0 ,

που (κατά μέγιστον) ορίζεται

για -C < x ή αλλιώς για x ε (-C , +οο)

και δίνει μόνον θετικές τιμές y (όλους τους θετικούς αριθμούς).

- Συμπέρασμα: Η y' = -y^2 μαζί με την οποιανδήποτε συνθήκη x0 και
y0 = y(x0) έχει ΠΑΝΤΑ μοναδική λύση (που εκφράζεται από έναν
τύπο μαζί με το μέγιστο διάστημα ισχύος του).

8
= Εφαρμογή: Να ευρεθεί η μοναδική λύση της y' = -y^2 (με τύπο
y(x) που να δίνει πραγματικές τιμές y , για x ορισμένο στο
μεγαλύτερο δυνατό διάστημα των πραγματικών αριθμών) έτσι ώστε
να πληρούται η αρχική συνθήκη y(0) = 1 ή αλλιώς για x0 = 0
να είναι y(x0) = y0 = 1 ή αλλιώς (x0 = 0 , y0 = 1) ε f .

- Είναι 0 < 1 = y0 , για x0 = 0, οπότε η μοναδική (ειδική)
λύση είναι ο τύπος

y = y(x) = 1/(x + C) , με C = -x0 + 1/y0 = 0 + 1/1 = 1 ,

δηλαδή ο τύπος

y = y(x) = 1/(x + 1)

που (κατά μέγιστον) ορίζεται

για -1 < x ή αλλιώς για x ε (-1, +oo)

και δίνει μόνον (όλες τις) θετικές τιμές y.

9
= Και ποιο είναι "το κλειδί" για την άρση όλων αυτών των, αν όχι
τέλος πάντων λαθών, ας πούμε ..."παρεξηγήσεων";

d;^)

- Κατά τη γνώμη μου, κλειδί είναι το γεγονός ότι όταν ένα
πραγματικό ολοκλήρωμα υπάρχει ως τύπος τότε είναι ένας τύπος
που ορίζεται πάντα σε ένα μη κενό διάστημα - ένας τύπος με ένα
μέγιστο διάστημα ισχύος του -υπόστασής του. Το μέγιστο αυτό
διάστημα "αυτο-καθορίζεται" από τον ίδιο τον τύπο στις εξής
-τουλάχιστον!- (παραδειγματικές) περιπτώσεις: (α) το x
"απειρίζεται", αρνητικά ή θετικά - (β) υπάρχει στον τύπο ένας
λόγος που δεν μπορεί να απαληφθεί και για κάποιο x = s ο
παρονομαστής μηδενίζεται ενώ ο αριθμητής του δεν μηδενίζεται
- (γ) πριν ή μετά από κάποιο x, μια τετραγωνική (ή αρτίου
βαθμού) ρίζα γίνεται αρνητική. Στις περιπτώσεις αυτές το ένα
άκρο του μέγιστου διαστήματος ισχύος του τύπου είναι
αντιστοίχως: (α') το -οο ή +οο , αντιστοίχως - (β') και (γ')
το s. Για παράδειγμα, στην συγκεκριμένη αυτή αναζήτηση
μοναδικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης y' = -y^2 με αρχική
συνθήκη, γενικώς, y0 = y(x0) , πρώτα καθορίζεται, από το
πρόσημο του y0, ο τύπος y = y(x) , με την σταθερά C να γίνεται
"απλώς" μία "βοηθητική ενδιάμεση τιμή" η οποία καθορίζεται
πλήρως, είτε μόνον από τo y0 , είτε από το y0 και το x0, και
ύστερα, από τον τύπο αυτόν καθορίζονται τα άκρα του μέγιστου
διαστήματος του x μέσα στο οποίο ο τύπος δίνει πραγματικούς
αριθμούς y. Πρέπει να γίνει καλά αντιληπτό ότι στην περίπτωση
y0 = 0 , που έχουμε τον τύπο y = y(x) = 0 , η ως άνω περίπτωση
(α) "απειρισμού' του x ορίζει ως μέγιστο διάστημα ισχύος του
τύπου αυτού -(α')- το (-οο, +οο) , ενώ στην περίπτωση y0 =/= 0
δηλαδή του τύπου y = y(x) = 1/(x + C) , με C = - x0 + 1/y0 ,
ο συνδυασμός της ως άνω (α) με την (β) για s = -C , ορίζει ως
μέγιστο διάστημα ισχύος του τύπου αυτού -(α') και (β')- είτε
το (-οο, -C) , όταν y0 < 0 , είτε το (-C, +oo) , όταν 0 < y0.
Έτσι, στην συγκεκριμένη αυτή περίπτωση x0 = 0 και y0 = 1 > 0 ,
η μοναδική λύση της δοθείσας διαφορικής εξίσωσης που πληροί
την συνθήκη αυτή έχει τον τύπο y = y(x) = 1/(x + 1), με μέγιστο
διάστημα που αυτο-καθορίζεται από τον τύπο ως εξής: ο τύπος
παύει να ισχύει (να έχει νόημα) "στη θέση" x = s = -C = -1 ,
διότι εκεί ο τύπος αυτός "απειρίζεται" και δεν μπορεί να δώσει
κανένα πραγματικό y , οπότε το κάτω άκρο του μέγιστου αυτού
ανοικτού διαστήματος είναι το -1 , ενώ το πάνω άκρο του
διαστήματος αυτού είναι προφανώς το +οο , άρα -1 < x ή αλλιώς
x ε (-1, +οο) .

Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

ΥΓ - Μη τυχόν μπορούμε τώρα να πάμε παρακάτω στο πολύ ενδιαφέρον αυτό θέμα; - d;^)

[pez]

- [a] [ΟΑ][ΟΑ][Re][deece]: " Με αφορμή την [Lipschitz Condition] " - Tuesday, January 05, 2010 11:06 AM - To: Virtual Antennas - Cc: /F/L/O/S/S/ - From: Petros ZImourtopoulos

- Παρόραμα! Αντί " απαληφθεί ", το ορθόν " απαλειφθεί ".

- Παρόραμα! Αντί " αυθαίρετες συναρτήσεις ", το ορθόν " αυθαίρετες
σταθερές συναρτήσεις ".

- Λάθος!

Αντί

" όταν ένα πραγματικό ολοκλήρωμα υπάρχει ως τύπος τότε είναι ένας
τύπος που ορίζεται πάντα σε ένα μη κενό διάστημα ",

το ορθόν

" όταν ένα πραγματικό ολοκλήρωμα υπάρχει ως τύπος τότε είναι ένας
τύπος που ορίζεται πάντα σε ένα γνήσιο (όχι το εκφυλισμένο [s, s] ,
όπου s ε |R , ούτε κενό, όπως είναι π.χ. το (s, s) , διάστημα).

- Προσθήκη: Αν y(x) είναι μια λύση ΔΕ στο μέγιστο διάστημα Ι του |R ,
και J ένα άλλο διάστημα, υποσύνολο (υποδιάστημα) του I , J C I ,
τότε προφανώς και η συνάρτηση-περιορισμός της y(x) στο J (δηλαδή
ο ίδιος τύπος ορισμένος σε υποδιάστημα J του I : για κάθε x ε J ,
y|J(x) = y(x) ), είναι επίσης μια λύση της ΔΕ.

- Χμ! Οπότε, μετά από αυτά, θα πρέπει να διευρυνθεί και ο ορισμός της
γενικής λύσης, για να συμπεριλάβει και τους περιορισμούς των ειδικών
λύσεων σε υποδιαστήματα των μεγίστων διαστημάτων στα οποία ορίζονται
οι τύποι των ειδικών λύσεων.

- Συμπέρασμα

Αν y = y(x) είναι η μοναδική ειδική λύση μιας ΔΕ με αρχική συνθήκη
y0 = y(x0) και ο τύπος y(x) είναι ορισμένος στο (μέγιστο) διάστημα I
(που περιέχει το x0), τότε ο περιορισμός της y(x) στο τυχόν J, που
επίσης περιέχει το x0 αλλά και περιέχεται στο I, είναι η μοναδική
λύση της ΔΕ, με την ίδια αρχική συνθήκη, στο J C I .

Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

[pez]

- Μετά από όλα αυτά, είμαστε έτοιμοι πια να αποδώσουμε και γραφικά -αφού γνωρίζουμε καλά τι πρέπει να περιμένουμε!- (α) όποια μέλη εμείς θέλουμε από τις 2 διακριτές οικογένειες των ειδικών λύσεων y = y(x) =/= 0 (που έχουν τον ίδιο τύπο y = y(x) = 1/(x + C) , αλλά είναι ορισμένες στα 2 διαφορετικά διαστήματα x < -C , οπότε y < 0 και -C < x , οπότε 0 < y ), δίδοντας ένα πεπερασμένο πλήθος τιμών στην παράμετρο C, που είναι αυτή η οποία ορίζει ένα έκαστο μέλος των εν λόγω 2 οικογενειών, καθώς και (β) το μοναδικό μέλος της 3ης οικογένειας y = y(x) = 0. Για παράδειγμα, να τι φαίνεται μέσα από ένα παράθυρο 600 χ 600 pxl, για -10 =< x =< +10 και -10 < y < +10 και την C να παίρνει τις τιμές από -20 έως +20 με βήμα 0.5 :



- Ποια να είναι άραγε μέσα στο παράθυρο αυτό η μοναδική ειδική λύση - γραμμή - ολοκληρωτική καμπύλη της y' = -y^2 η οποία αντιστοιχεί στην αρχική συνθήκη - 2D σημείο : (x0 = 0, y0 = y(x0) = 1) ; - Νικολίτσα Γιαννοπούλου - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

[pez]

- Παρόραμα.

Αντί

"Το αληθές λοιπόν είναι πως όταν υπάρχει μία
τουλάχιστον ειδική λύση της dy = y'(x)dx -οπότε υπάρχουν
άπειρες- τότε υφίσταται σχέση ισότητας μεταξύ των (πολλών)
αυτών ειδικών λύσεων."

το ορθόν

"Το αληθές λοιπόν είναι πως όταν υπάρχει μία
τουλάχιστον ειδική λύση της dy = y'(x)dx -οπότε υπάρχουν
άπειρες- τότε υφίσταται σχέση σταθερής ανά δύο διαφοράς μεταξύ των (πολλών)
αυτών ειδικών λύσεων."

- Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

[pez]

- Μαθήματα - pez : (Κυρ Ιαν 10, 2010 3:26 pm) : " Σας παρακαλώ, μπορείτε να μου πείτε αν έληξε η προθεσμία παράδοσης της εργασίας y' = -y^2, y(0) = 1, καθότι επιθυμούμε να συνεχίσουμε την δημόσια διερεύνηση του πολύ ενδιαφέροντος αυτού ζητήματος: "Με αφορμή την [Lipschitz Condition]"; " - LoVaBiLL : (Δευτ Ιαν 11, 2010 2:49 am) : " Η προθεσμία που εμπεριείχε το κριτήριο αυτό έληξε, αλλά εγώ [...] την απορία την έκανα γενικότερα. Οπότε δε τίθεται ζήτημα προθεσμίας. : ) " - pez : (Τρι Ιαν 12, 2010 12:11 am) : " Ευχαριστώ " =>

- Λοιπόν, αναζητήσαμε εν τω μεταξύ και άλλες πηγές πληροφόρησης -έντυπες και ηλεκτρονικές- για να δούμε τι λένε επάνω στο εντελώς βασικό -άρα, εξαιρετικά ενδιαφέρον!- αυτό θέμα και εντύπωση μας κάνει το γεγονός πως παρά τις, θα έλεγα, έντονες, προσπάθειές μας, μέχρι στιγμής, τουλάχιστον, ΔΕΝ βρήκαμε ακόμη μια ολοκληρωμένη, πλήρως αξιόπιστη πηγή... Εντυπωσιακό! (Για να μην πούμε απογοητευτικό ή, εν τέλει, σκοπίμως αποθαρρυντικό : "Κάνουμε τα νερά θολά, για να φαίνονται βαθιά". Δεδομένου μάλιστα ότι το γνωστικό αντικείμενο "Διαφορικές Εξισώσεις" έχει ιστορία αιώνων! Ως ένα από τα πλέον πρακτικά πεδία εφαρμογής των -εκ των ων ουκ άνευ!- εκείνων μαθηματικών για Μηχανικούς και Φυσικούς Εφαρμογών, και γενικότερα για επιστήμονες κάθε ειδικότητας που ασχολούνται με την αντιμετώπιση ζητημάτων του πραγματικού κόσμου. Και εδώ, όπως σχεδόν παντού αλλού -αλλά και "ως συνήθως" !- σε γενικές γραμμές : όσο παλαιότερες είναι οι συγγραφές, τόσο σοβαρότερη είναι και η διαπραγμάτευση, με τους συγγραφείς που τα μπουρδουκλώνουν, έτσι ώστε να μην βγάζεις νόημα, να δηλώνουν κατ' ουσίαν πως δεν γνωρίζουν σε βάθος το θέμα με το οποίο καταπιάστηκαν... Τέλος πάντων... Ένας κατάλογος με τις πηγές, που συνεχίζομε να βρίσκουμε, αξιολογημένες από τη σκοπιά μας, δηλαδή από τη σκοπιά του αρχαρίου στο συγκεκριμένο αυτό θέμα, συντάσσεται και θα ακολουθήσει. Προς το παρόν ας αναφέρουμε, ως το πλέον συγγενές ζήτημα που συναντήσαμε *, το θέμα : y' = +y^2, (x0 = 0, y0 = 1). Με την επιπλέον εκεί * -από ό,τι φαίνεται να υπονοείται- πολύ ενδιαφέρουσα πρακτική αναζήτηση ύπαρξης μοναδικής λύσης σε εκείνα τα x -ή, καλύτερα, σε εκείνο το μέγιστο διάστημα ορισμού του x- για τα οποία : x0 =< x ή, όπως θα λέγαμε δηλαδή, με την αρχική συνθήκη, ως κυριολεκτικά "αρχική"στο x0, δηλαδή: "από εκεί (στο χ0), και πέρα, παραπάνω (σε x τέτοια ώστε x0 =< x)".

- Ανεξάρτητα όμως των λοιπών συνθηκών, ποια να είναι άραγε η σχέση των γραμμών-λύσεων της y' = +y^2 (που, σχεδόν προφανώς, επίσης υπάρχουν ως μοναδικές) με τις γνωστές λύσεις-γραμμές της y' = -y^2 της παραπάνω ζωγραφιάς; - Νικολίτσα Γιαννοπούλου - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος -

* Murray, F.J, Miller, K.S., "Existence Theorems for Ordinary Differential Equations", Dover, 2007, p.14 - "... a slightly corrected republication of the work originally published by New York University Press in 1954".

[pez]

- Η απάντηση στην -εκ των πραγμάτων ... "ρητορική"- ερώτηση": "Ποια να είναι άραγε μέσα στο παράθυρο αυτό η μοναδική ειδική λύση - γραμμή - ολοκληρωτική καμπύλη της y' = -y^2 η οποία αντιστοιχεί στην αρχική συνθήκη - 2D σημείο : (x0 = 0, y0 = y(x0) = 1) ;"

- Είναι: "Η κόκκινη" καμπύλη. Η "κόκκινη" ευθεία είναι η ασύμπτωτος (ευθεία) στην "κόκκινη καμπύλη" στο σημείο x = -C = -(-x0 + 1/y0) = x0 - 1/y0 = 0 - 1/1/ = -1 :



- Παρατήρηση: Από το ίδιο, ως άνω, σχήμα παρατηρούμε πως όπως φαίνεται, ναι, πράγματι, το (μέγιστο) διάστημα ορισμού της λύσης y = y(x) = 1/(x + C), C = -x0 + 1/y0, (x0 = 0, y0 =1) είναι το άπειρο (απεριόριστο) Ι = (-C = -1, +oo)

- Παρατήρηση 2: Ακόμη και όταν θεωρήσουμε την "αρχική συνθήκη", κυριολεκτικά, δηλαδή ως "από εδώ και πέρα (δεξιά)" το μέγιστο (γνήσια υπο-) διάστημα ορισμού της λύσης είναι και πάλι το άπειρο (απεριόριστο) : [0, +οο)

- Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

- ΥΓ - Παρόραμα - Αντί: "... Dover, 2007, p.14 ... " - Το ορθόν: "... Dover, 2007, p.13 ... "

[pez]

- Παρατήρηση - Μεταξύ των δύο ειδικών λύσεων με τον ίδιο τύπο αλλά διαφορετικό απεριόριστο διάστημα ορισμού -το ένα υποδιάστημα του άλλου- υπάρχει ουσιώδης διαφορά. Η πρώτη, που ορίζεται στο (-1, +oo) είναι μη-περατωμένη (άφρακτη, απεριόριστη), ενώ η δεύτερη που ορίζεται στο [0, +οο) είναι περατωμένη (φραγμένη, περιορισμένη) - Ακριβέστερα - Το σύνολο-διάστημα τιμών των δύο συναρτήσεων-λύσεων (η πρώτη είναι επέκταση της δεύτερης, και η δεύτερη περιορισμός της πρώτης), που η κάθε μια τους είναι ορισμένη σε μη-περατωμένο σύνολο-διάστημα ορισμού (η πρώτη σε υπερδιάστημα εκείνου της δεύτερης, και η δεύτερη σε υποδιάστημα εκείνου της πρώτης), το σύνολο-διάστημα τιμών λοιπόν, αυτών των συναρτήσεων-λύσεων, είναι αντιστοίχως μη-περατωμένο και περατωμένο - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος -

[pez]

- "Αναβάθμιση" - Στο ως άνω σχήμα, έχει προστεθεί, μαζί με άλλα βοηθητικά στοιχεία, η οριζόντια "κόκκινη" ευθεία, έτσι ώστε να διευκολύνεται ο εντοπισμός της αρχικής συνθήκης (x0 = 0, y0 = 1).

- Διευκρίνιση - Αντί: "...Η "κόκκινη" ευθεία είναι η ασύμπτωτος (ευθεία) στην "κόκκινη καμπύλη"...", το ορθόν: "...Η κάθετη "κόκκινη" ευθεία είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτος (ευθεία) στην "κόκκινη καμπύλη"..."

- Πέτρος Ζιμουρτόπουλος

[macJohn]

Αν κάνουμε να βρούμε την ισχύ ή μη της συνθήκης Lipschitz (σωστά και ολοκληρωμένα) για τη $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-y^{2}, y(0)=1$$
1,5 μήνα κάτι δε πάει καλά Εδώ Μέσα!!!

By the way, πεζ είσαι παρά 5 μαθήματα μαθηματικός και δε ξέρεις να γράφεις με LaTeX ?? Απαράδεκτο!!!

[pez]

- Παρόραμα - Αντί: "...Η κάθετη "κόκκινη" ευθεία..." το ορθόν "...Η κάθετη στον οριζόντιο άξονα "κόκκινη" ευθεία..." - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος -

[hannibal]

Ζιμουρτόπουλε (κύριε Πέτρο εννοώ)
ΧΘές, από ότι έμαθα, έγιναν Ομότιμοι Καθηγητές του Τμήματος οι εξής συνταξιοδοτηθέντες:
Α. Θαναηλάκης
Δ. παπαδόπουλος
Ι. Υακίνθου
Ν. Τσ'άγκος

Αν το είχες πει νωρίτερα, θα μπορούσαμε να κάνε ομότιμο και τον Lipschitz (υποθέτω πως Lipschitz είναι το επίθετο και Condition το μικρό του)

[pez]

- Μπορούμε τώρα να στρέψουμε την προσοχή μας στο, πολύ κοντά στο πρώτο, δεύτερο πρόβλημα: y' = +y^2, (x0 = 0, y0 = 1), για το οποίο μέσα από το αντίστοιχο, ως ανωτέρω, παράθυρο, φαίνονται τώρα τα εξής:



- Γιατί, άραγε; - d;^) - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος - ΥΓ - Οι ουρίτσες της βλακώδους Εδώ Μέσα τραμπουκαρίας πτοούν μόνον την ουρά του μπόση τους, που σέρνεται από πίσω τους - Ξαναφέρτε λοιπόν το ξύδι στους ψευδανώνυμους παλικαράδες - d;^) -
-

[pez]

- Έστω F η γενική λύση (η κλάση, το σύνολο όλων των ειδικών λύσεων) της πρώτης ΔΕ y ' = -y^2. Από τα προηγούμενα ξέρουμε πια ότι το F είναι διάφορο του κενού. Για κάθε f ε F, έχω f ' = - f^2. Θεωρώ και την γενική λύση G της δεύτερης ΔΕ y ' = +y^2. Ορίζω ως g := -f, οπότε έχω g ' = -f ' = f^2 = (-g)^2 = g^2, δηλαδή η g = -f είναι λύση της 2ης ΔΕ, οπότε και το G είναι διάφορο του κενού. Έστω τώρα η οποιαδήποτε g ε G. Ορίζω, αναλόγως με τα προηγούμενα, ως φ := -g και υποθέτω ότι αυτή δεν είναι λύση της πρώτης διαφορικής εξίσωσης. Έχω όμως φ ' = -g' = -(g^2) = -g^2 = -(-φ)^2 = -φ^2, οπότε η φ είναι λύση της πρώτης ΔΕ, άρα άτοπη η υπόθεση. Συμπέρασμα: Η y ' = +y^2 έχει μη κενή γενική λύση G και κάθε μέλος της (ειδική λύση) g είναι η αντίθετη μιας ειδικής λύσης f της πρώτης ΔΕ g = -f (γεγονός που μπορεί να συμβολισθεί και ως G = -F) - Εφαρμογή: Αναστρέφω -ως προς τον άξονα χ- το πρώτο διάγραμμα για να πάρω, ως ανωτέρω, το τρίτο. Αυτή είναι και η απάντηση στο τελευταίο, επίσης "ρητορικό" ερώτημα - d;^) - Πέτρος Ζιμουρτόπουλος -